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Princípio de Compacidade

2006-03-08

Ponto de acumulação de um conjunto de números reais. Conjunto derivado. Exemplos. Outra versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass (existência de pontos de acumulação em conjuntos infinitos limitados). Subsucessões e sublimites. Exemplos. Caracterização dos sublimites como pontos de acumulação. Exemplos de sucessões admitindo um conjunto de sublimites dado. Demonstração do princípio de Cauchy-Bolzano. O princípio do supremo e o teorema de Bolzano-Weierstrass na recta real completada com os pontos no infinito.

AULA AVANÇADA: Aplicação do teorema de Bolzano-Weierstrass ao problema do mínimo de do módulo |P(x)| de um polinómio de grau n. Extensão do teorema do ponto fixo de Banach para as contrações em subconjuntos fechados de R e aplicação a f(x)=1+1/x, i.e., à sucessão recursiva convergente para a razão aurea (Exercício I-15).