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Você está aqui: Entrada » 2005/2006, 1º semestre » Análise Mat. I » Aulas teóricas » 26-9-2005

Sumário

Apresentação do curso e do programa. A disciplina de Análise Matemática I tem por objectivo uma introdução rigorosa, mas não exaustiva, às técnicas do Cálculo Diferencial e Integral para funções reais com uma variável, com uma forte componente de aplicações e recorrendo à intuição e aos conhecimentos da matemática pré-universitária actuais. Visa ainda uma introdução às operações com o infinito e o reconhecimento de algumas das suas dificuldades que requerem um aprofundamente ulterior dos seus conceitos básicos e dos seus fundamentos. O seu estudo é uma componente essencial do treino matemático necessário à compreensão pelo homem da realidade e na sua busca (descoberta-demonstração-discernimento) da verdade, traduzida no escrito de 1655 de Blaise Pascal - "On peut avoir trois principaux objets dans l'étude de la vérité: l'un, de la découvrir quand on la cherche; l'autre, de la démontrer quand on la possède; le dernier, de la discerner d'avec le faux quand on l'examine".

Existindo um grande número de excelentes livros tratando os tópicos incluidos na sua programação, os textos da bibliografia podem ser consultados com utilidade, contendo alguns deles desenvolvimentos e fundamentos para o leitor interessado.

Numa motivação ao Cálculo e à Análise Infinitesimal, apresentam-se as noções genéricas do Cálculo Diferencial e Integral, enquanto linguagem da Ciência e instrumento fundamental da Tecnologia. O aparecimento da Análise Infinitesimal, uma expressão de Euler de meados do século XVIII, foi determinante para o progresso científico e tecnológico e constituiu-se como uma disciplina fundamental das ciências matemáticas desde os trabalhos de Cauchy e Weierstrass do século XIX. Caracteriza-se pelas operações infinitesimais e pela noção de limite, baseando-se em dois processos recíprocos e profundamente interligados, o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Se o método da exaustão de Eudoxus permitiu a Arquimedes, no século III A.C., a notável aproximação entre 223/71 e 22/7 para a razão da área do círculo pelo quadrado seu raio, foi o método dos infinitesimais que, nos finais do século XVII com as criações de Newton e Leibniz, se descobriram as relações profundas e, num certo sentido inversas, entre o cálculo de tangentes a curvas e de áreas sob os seus gráficos.

Numa breve referência aos números ( racionais e reais), e como exemplo de demonstrações por redução ao absurdo, prova-se a irracionalidade da raiz quadrada de dois, com a clássica demonstração aritmética e com a demonstração geométrica de Apostol.

LEITURAS COMPLEMENTARES RECOMENDADAS

Parte 1: Números, de Conceitos Fundamentais da Matemática, de Bento de Jesus Caraça, (3ª Edição, Gradiva, Lisboa).

REVISÕES DO ENSINO SECUNDÁRIO - Altamente recomendadas

Iniciação ao Estudo das Funções Reais de Variável Real, de Luis Sanchez (Projecto Reanimat do DM/FCUL, 2001/2003)

10º Ano    11º Ano    12º Ano

 

AULA AVANÇADA #1

Apresentação. A desigualdade de Cauchy-Schwarz. Caracterização dos números racionais em termos de dízimas finitas ou infinitas periódicas. Aproximação dos números irracionais por números racionais.